Kvadrat sirkelen

FraFC Flying, en alkymi bok utgitt i 1618.
En del av en
konvergent serie på

Matematikk
Ikon math.svg
1 + 1 = 11

Kvadrat sirkelen er forsøket på å konstruere, bruke rett og kompass , et kvadrat med et areal som er lik arealet til en gitt sirkel. Ordet 'forsøk' brukes ovenfor fordi oppgaven har vært bevist umulig. Dette har vært kjent i over 100 år, men det hadde vært mistanke om mye lenger.


Naturligvis har en så liten hindring som umulighet ikke hindret folk i å gjøre forsøk på å firkante sirkelen. En person som prøver å kvadratere sirkelen, kalles en idiot sirkelkvadrat , og begrepet, ved metaforisk utvidelse, kan brukes på enhver utøver av lignende rekreasjonsmuligheter.

Så hvordan kan du gjøre det?


Innhold

Hvorfor vil du firkantet sirkelen?

Kvadrering av sirkelen (i et endelig antall trinn) er et problem som ikke har blitt løst siden den eldgamle tiden Grekerne . Så det følger at hvis du kan løse det, må du være smartere enn noen siden de gamle grekernes tid. Du vil sannsynligvis få utbredt anerkjennelse for å slå av et så langvarig (og derfor ekstremt viktig) problem. Kanskje du vinner en Feltmedalje !

På en mer seriøs merknad vil kvadrering av sirkelen kreve å konstruere lengden begin {align} (x-2) ^ 2 + (4x) ^ 2 & = 16 \ x ^ 2-4x + 4 + 16x ^ 2 & = 16 \ 17x ^ 2-4x + 4 & = 16  end {align }. (En sirkel med radius17x ^ 2-4x-12 = 0har arealx =  frac {-b  pm  sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}. Derfor må et firkant med samme område ha en side av begin {align} x & =  frac {- (- 4)  pm  sqrt {(- 4) ^ 2-4 (17) (- 12)}} {2 (17)} \ x & =  frac { 7  pm8  sqrt {13}} {34}  end {align}) Hvis dette tallet kunne konstrueres, ville det bevise det begin {align} & f (0.966) = 4 (0.966) = 3.864 \ & f (-0.731) = 4 (-0.731) = - 2.923  end {align}er et algebraisk tall, noe som betyr at det er noen mulige sett med rasjonelle tall du kan bruke til å beregne det.

Av en rekke (i det vesentlige subjektive) grunner, tenkte selve detAlkymivar liksom utilgjengelig gjennom 'normale' tall Virkelig ser ut til å plage noen mennesker. Legenden sier at Pythagoras myrdet personen som oppdaget detvar irrasjonell, så tanken deti seg selv var helt utilgjengelig via heltallene ville ha vært anathema. En spesiell innvending er basert på passasjer i bibel , slik 1. Kongebok 7: 23-26 antas (av noen bokstavere) å antyde detmå være rasjonell og lik 3.



Også uten god grunn oppstod troen på at kvadrering av sirkelen på en eller annen måte ville løse 'lengdegradsproblemet' (sjøfartøyens manglende evne til å bestemme hvor de befant seg på øst-vest-aksen). Siden det var noen enorme pengepremier som ble tilbudt (i 1714 tilbød den britiske regjeringen en premie på £ 20 000), fyrte dette opp hver amatørmatematiker i Europa. Sirkelkvadrat er faktisk irrelevant; alt som var nødvendig for å løse lengdegradsproblemet var evnen til å observere solen og en virkelig god klokke.


I matematikk verden ble spørsmålet lagt i seng i 1882 da Ferdinand von Lindemann beviste deter ikke algebraisk (i teknisk sjargong er det 'transcendentalt'). For det er definitivt ingen rasjonelle tall som kan beregne, det er umulig å konstruerei det euklidiske rommet.

Sanne troende vil imidlertid ikke bli avskrekket av noe så spinkelt som 'bevis'. De vedvarer fordi de mener at det er en ideologisk skjevhet mot sirkelfyrkant, hvis modige undersøkelser truer den komfortable ortodoksien til vestlig dekonstruksjonistisk matematikk.


I virkeligheten er den eneste ideologiske skjevheten i virkeligheten ekte matematikere som ikke bry seg om kaste bort tiden sin med vev .

Skisse av beviset

I en kompass- og rettkonstruksjon er man fri til å definere enhetslengden fra et par gitte punkter. I tillegg kan bare punkter som er gitt og skjæringspunkt mellom tidligere konstruerte sirkler og linjer tas i betraktning, og linjer og sirkler kan bare konstrueres fra tidligere definerte punkter.

Å finne skjæringspunktene mellom en linje / sirkel og en annen linje / sirkel innebærer samtidig å løse et system med to ligninger som hver er enten kvadratisk eller lineær. Disse linjene og sirklene avhenger i sin tur av punktene som definerer dem. Derfor, med litt algebra, kan det sees at å definere et punkt fra noen gitte tilsvarer å løse en kvadratisk ligning hvis koeffisienter er enten heltall, eller er resultatet gjentatte anvendelser av denne metoden.

Si for eksempel at vi ønsket å bestemme punktene der en linje med helling på fire skjærer en sirkel med en radius på fire sentrert på punktet. For å finne skjæringspunktene, må vi sette opp et ligningssystem der sirkelen er gitt av ligningenog linjen er gitt av ligningen. Deretter ville vi erstatte ligningen for linjen i ligningen for sirkelen, utvide og forenkle.




For å finne røttene omorganiserer vi dette til lik 0:

Merk at dette faktisk er et enkeltvariabelt polynom med heltall som koeffisienter, som forventet fra kompass og rettkantkonstruksjon. Siden det ikke vil påvirke lett, kan vi bruke den kvadratiske formelen:

For alle kvadratiske i skjemaet, er følgende formel gjeldende:



Dette er den kvadratiske formelen.

Ved hjelp av ligningen vårfølgende stemmer:

Noe som gir røtter.

For å finneverdier vi erstatter de ovennevnte røttene i ligningen for linjen:

Dermed følger det at linjenkrysser sirkelenog.


I elementæranalyse, tall som tilfredsstiller noen polynomligningder koeffisienteneer heltall (dvs. den kvadratiske ligningen ovenfor) er det som kalles algebraiske tall. Videre danner de det som er kjent som et algebraisk lukket felt, det vil si at alle røtter av polynomer med algebraiske koeffisienter er algebraiske tall. Derfor må alle tall som det er mulig å konstruere med kompass og retting være algebraiske, hvilke(og derfor kvadratroten) er det ikke. Dermed er konstruksjonen umulig. Faktisk er de matematiske konstantene e (2.71828 ...) og(3.14159 ...) tilhører en klasse av tall kjent som transcendentale tall, tall som ikke er røtter til ikke-null polynomer med heltallskoeffisienter. Det fulle, formelle beviset på dette er kjent som Lindemann – Weierstrass-setningen. I motsetning til andre felt (f.eks. Vitenskap, jus) er begrepet 'bevis' i matematikk absolutt, dvs. når en gyldig bevis er gitt av noe, er det absolutt ingenting som kan motbevise det innenfor den aksiomatiske basen det er arbeidet med.

Jukse

Du kan jukse det enkelt, men kan du gjøre det med kompass og rettetang?

En vanlig måte å kvadratere sirkelen på er å jukse. (Matematikere kaller dettetilnærming.) Husk at problemstillingen er å konstruere et kvadrat pådet samme områdetha ensirkelved hjelp avrett og kompass.Noen av vilkårene i kursiv skal betraktes som bare valgfrie.

For eksempel, gitt en sirkel, er det enkelt å konstruere en firkant som har et areal lik 3,2 ganger kvadratet av radiusen til den gitte sirkelen. Denne firkanten har ikke det samme området av sirkelen, men den vil se utveldig nær.Det burde være bra nok for matematikerne.

Eller, i stedet for å starte med en sirkel, kan vi starte med en polygon med for eksempel 96 sider. Det er nær nok til en sirkel - ikke sant, alle? Det er mulig å 'kvadratere polygonet' (som var kjent for grekerne), så det er i utgangspunktet mulig å kvadratere sirkelen. Alternativt kan du vise hvordan du kan kvadratere en polygon med 96 sider, en polygon med 192 sider, en polygon med 384 sider, og så videre. Derfor, når vi går til det ytterste, kan vi kvadratere sirkelen.

Juks på flere måter samtidig

Følgende prosess innebærer en kalkulator. Det er ikke eksakt, men kan raffineres opp til nøyaktigheten til verktøyene du har.

  • Beregn først arealet av sirkelen.
  • Ta deretter kvadratroten av området for å få lengden på kanten av torget.
  • Hvis du har gode tegneverktøy, kan du til og med tegne firkanten nå som du har lengden på kanten.

Juks med fysisk hjelp

  • Lag et hjul av samme størrelse som sirkelen og som er halvt så bredt som sirkelens radius.
  • Dekk siden i våt maling og få den til å dreie seg over en flat overflate nøyaktig en gang.
  • Dette etterlater et malt rektangel med samme overflate som sirkelen.
  • Avslutt med å firkante dette rektangelet (dette trinnet kan gjøres selv med rett og kompass).

Advarsel

Hvis du utvikler en trang til å snakke med eller diskutere sirkelfelt, bør du umiddelbart søke lege. Circle-squarers er for det meste ikke interessert i å få kritisert sine ideer. De er ikke overbevist av 'bevis' - hvis de var det, ville de ikke ha begynt på problemet. Se Keith Devlin tar på dette for mer.

Den klassiske familien av uløselige problemer

Kvadrat sirkelen , dobling av kuben og trekke en vinkel kan kalles treenigheten av klassiske uløselige problemer i euklidisk geometri. Siden alle tre har vist seg å være umulige, uten å bruke annet enn en linjal og et kompass, er det selvfølgelig uimotståelig at vev uansett blir firkantet, dobbelt og trisekt. Et annet problem, fysisk denne gangen, er å finne opp en evig bevegelse maskin, noe som er like umulig. Tiden og krefter som er bortkastet på dette trosser troen, men hvis veiv holder seg til disse meningsløse forsøkene, kan det argumenteres for at de i det minste ikke gjør noen skade mens de er engasjert i disse bestrebelsene.